Función Cuadrática y la Parábola
La función cuadrática f(x) = ax² + bx + c tiene como gráfica una parábola. El coeficiente a determina la concavidad y la apertura; el vértice es el punto máximo o mínimo.
Discriminante: Δ = b² − 4ac Vértice: xᵥ = −b/(2a) yᵥ = −Δ/(4a) Raíces (fórmula general): x = (−b ± √Δ) ÷ (2a) a > 0 → se abre hacia arriba (mínimo en yᵥ) a < 0 → se abre hacia abajo (máximo en yᵥ)
Aplicaciones prácticas
- Física: trayectoria de proyectiles — h(t) = −gt²/2 + v₀t + h₀
- Economía: maximización de beneficios — B(x) = −ax² + bx − c
- Geometría: dimensionar terrenos con área máxima y perímetro fijo
- Ingeniería: arcos parabólicos en puentes y viaductos
Preguntas frecuentes
¿Por qué a ≠ 0 en la función cuadrática?
Si a = 0, la expresión ax² + bx + c se reduce a bx + c (función lineal). El término cuadrático x² es lo que define el grado 2 y la forma de parábola.
¿Qué significa Δ < 0 en la gráfica?
La parábola no corta el eje x. Si a > 0, queda completamente por encima del eje x (f(x) > 0 para todo x). Si a < 0, queda completamente por debajo.
¿Cómo usar la función cuadrática para maximizar un área?
Escribe el área en función de una variable, identifica a, b, c y calcula el vértice. La coordenada xᵥ da la dimensión óptima.
¿Qué relación hay entre la función cuadrática y la ecuación de segundo grado?
Los ceros de la función f(x) = ax² + bx + c son las raíces de la ecuación ax² + bx + c = 0. Son dos aspectos del mismo objeto matemático.