Ecuación de 2.º Grado y Fórmula General
La ecuación de segundo grado tiene la forma general ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Su solución se encuentra con la fórmula general (o resolvente).
Δ = b² − 4ac (discriminante) x = (−b ± √Δ) ÷ (2a) (fórmula general) x₁ = (−b + √Δ) ÷ (2a) x₂ = (−b − √Δ) ÷ (2a)
El Discriminante (Δ)
- Δ > 0 → dos raíces reales y distintas
- Δ = 0 → una raíz real (raíz doble)
- Δ < 0 → ninguna raíz real
Vértice de la Parábola
xᵥ = −b ÷ (2a) (eje de simetría) yᵥ = −Δ ÷ (4a) (valor máximo o mínimo) a > 0 → la parábola se abre hacia arriba (mínimo en yᵥ) a < 0 → la parábola se abre hacia abajo (máximo en yᵥ)
Fórmulas de Cardano-Vieta
Suma y producto de las raíces sin usar la fórmula general:
x₁ + x₂ = −b/a x₁ × x₂ = c/a
Preguntas frecuentes
¿Qué hacer si Δ < 0?
En el conjunto de los reales no hay solución. En el conjunto de los complejos, las raíces son imaginarias (involucran i = √(−1)). En secundaria se dice que "no hay raíces reales".
¿La ecuación puede tener solo una raíz?
¡Sí! Cuando Δ = 0, x₁ = x₂ = −b/(2a). Se llama raíz doble o raíz de multiplicidad 2.
¿Cómo verificar las raíces encontradas?
Sustituye cada raíz en la ecuación original. El resultado debe ser 0. Ejemplo: para x=2 en x²−5x+6: 4−10+6 = 0 ✓.
¿Por qué a ≠ 0 en la ecuación de segundo grado?
Si a = 0, la ecuación se convierte en bx + c = 0, que es de primer grado (lineal). La ecuación de segundo grado exige el término x².