¿Qué son la PA y la PG?
La Progresión Aritmética (PA) es una sucesión donde la diferencia entre términos consecutivos es constante (razón r). La Progresión Geométrica (PG) es una sucesión donde el cociente entre términos consecutivos es constante (razón q).
PA: aₙ = a₁ + (n − 1) × r
Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2
PG: aₙ = a₁ × q^(n−1)
Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1) [q ≠ 1]
Sₙ = n × a₁ [q = 1]Tipos de PA
- Creciente: r > 0 → los términos aumentan (2, 5, 8, 11…)
- Decreciente: r < 0 → los términos disminuyen (10, 7, 4, 1…)
- Constante: r = 0 → todos los términos iguales (5, 5, 5…)
Tipos de PG
- Creciente: q > 1 y a₁ > 0 (1, 2, 4, 8…)
- Decreciente: 0 < q < 1 y a₁ > 0 (100, 50, 25…)
- Alternante: q < 0 → los términos alternan de signo (1, −2, 4, −8…)
Preguntas frecuentes
¿Cómo identificar si una sucesión es PA o PG?
En la PA, resta términos consecutivos — la diferencia debe ser igual (r). En la PG, divide términos consecutivos — el cociente debe ser igual (q). Si no se cumple ninguna, no es una PA ni una PG simple.
¿Cuál es la historia de Gauss y la PA?
El matemático Gauss calculó 1+2+...+100=5050 siendo niño, al notar que se pueden sumar pares simétricos: (1+100)+(2+99)+...=50×101=5050. Esa es la base de la fórmula de la suma de la PA.
¿Para qué sirve la PG en la práctica?
La PG modela el crecimiento exponencial: interés compuesto (el saldo se duplica cada período), crecimiento poblacional, decaimiento radiactivo y cualquier fenómeno que se multiplica por una tasa constante.
¿Qué es una PG infinita convergente?
Cuando |q| < 1, la suma de infinitos términos de la PG converge: S∞ = a₁ ÷ (1 − q). Se usa en series matemáticas y en el modelado de procesos físicos.